理解數學大師——《知無涯者》

************這篇影評可能有雷************

《知無涯者》絕對理性 公眾號

看這部電影，我感到非常的享受。感覺就像看完美功夫表演，乾淨俐落，自然而又無懈可擊，更關鍵的是非常真實，非常親切。電影是根據真人真事改編，而且影片主人公斯里尼瓦瑟•拉馬努金與我有緣（恕我自大），之前《數學史》上了解過這個特殊的天才，後來又恰好在微信公眾號上看過他的傳奇表述（誇大了些）。我一直在等待最完美的演繹，儘管故事可能平凡，甚至乏味枯燥，但是要完整，而且要引領我們進入一個更深層次的境界。電影做到了，我深深讚嘆。
一直覺主義數學大師帶來的新觀念。
電影最重要的，最了不起的是，給我們充分地展現了兩位數學家的風采，展現了兩種思想觀念，數學觀念，甚至展現了數學的一些關鍵的魅力。無論是任何一點都足以使電影成為經典。
哈代的成就不是本片的關鍵，但是他發現了拉馬努金，幫助了拉馬努金，成就了拉馬努金自然值得讚嘆，尤其是拉馬努金的方向本來就是與他不同的。
拉馬努金究竟在數學史上作出了什麼貢獻呢？片中，他最吸引了哈代和好友利特爾伍德的，也是他自己最重視的成果，一直要哈達幫他發表的是「質數定理」：我甚至建立了一個函數恰好代表了以無窮級數的形式代表的小於X的質數。等於說只要我們提供一個數字，不管多大，他提供的公式都可以計算出到底比它小的有多少個質數。這個定理的確很吸引人，可能在比較小的數字上，這個公式成立，但是最終利特爾伍德通過代入檢驗，證明了是錯誤的。這個公式可能在形式上很美，所以很吸引數學大師，但是拉馬努金並不能夠提供傳統意義上的「證明」。（哈代：你的理論確實很有意思，如果你把質數的近似值與質數個數對比，得出的結果是什麼？結果會一直增長，即使數值高達一千，一百萬。無窮大也對嗎？是嗎？你怎麼證明？拉馬努金：我給你證明了，我證明了。哈代：你沒有。無論你感覺它有多麼正確，在實際計算中，它就是錯的，利特爾伍德先生代入了一個數字，結果顯示，和實際質數的個數相比，用你的理論個數會少，而不是多。你的理論是錯的。這也是在你能相信我，並做好證明之前，我們不能隨意公佈的原因，直覺只能幫你到這裡。）最終幫助拉馬努金獲得三一學院的院士資格的是他的「整數拆分」，具體什麼意思呢？影片也提供了一定的描述。簡單的我們可以理解的拆分是這樣的，4的劃分等於5，意思就是4的組合方式有五種：1+1+1+1，3+1，2+1+1，2+2，和 4。看起來很簡單啊。但是如果把劃分的數字漲到100，就會有204226種不同的方法。數學家麥克馬洪用了幾周手算出來的。現在他能用公式解決，代入任意一個數，就能得出拆分的結果，就像變魔法一樣。幸好在哈達的幫助下，拉馬努金最終成功的證明了他的「整數拆分」公式。
很明顯，質數定理和整數拆分之所以吸引數學家，就是因為通過提出一道簡潔的公式，就把數的規律給找了出來，演繹出來。問題這樣的「美」似乎毫無意義啊，其實恰好這樣的「美」意義重大！片中，拉馬努金和妻子賈納姬有一段對話，試圖跟妻子解釋自己寫的一大堆數學公式有什麼用，以及這些公式的美：它們就像幅畫，想像成一幅看不見顏色的畫。對你來說可能不好看，但對我來說這就是一切，也許會有其他人，他們也能看到，並理解它們，對他們來說這個會很重要。除了看不到的顏色，我還想了解更多。如果湊近看，可以看到每顆砂礫，一顆一顆。想想看，萬事萬物都有規可循，光裡的顏色，水面的反射，在數學中這些規律以不可思議的形式展現出來，真的非常美。
我不知道這是不是拉馬努金的原話。按照文學的角度來說，他還沒有說透徹清楚。他的意思，首先，數學的美是抽象的，是「看不見顏色的畫」；其次，數學家能夠看到這種「別人看不見的美」；最後，這種美在於它展示規律，揭示奧妙。按照我們「庸俗的實用性」來思考，就相當於經濟學家發現了一到公式，可以完整地描述股票的變化，能夠準確地把握明天的股票變化，那麼我們會對這樣「發財」公式如何渴慕呢？也許有人還糾結著，拉馬努金的公式不能幫我們賺錢啊，甚至買菜都用不上啊。其實，恰好是這些「很抽象，很無為」的公式，在最頂尖的層面上不斷做出貢獻。比如我們的電腦，沒有這些純粹公式的支持，根本不可能造出來。而拉馬努金提供的公式，可不是這樣麼一道而已。光就片中所言，他初次見面就塞給哈代整整兩本寫滿這些公式的本子，而片末所言，他回到印度後的一年裡又寫出了一本。一本公式書里該記錄了多少公式呀？而這些公式已經展示和尚未展示的秘密和作用，可能遠遠超乎想像，正如片中所言：在1976年，一本「遺漏的筆記本」被發現，裡麵包含著在其生命的最後一年裡，拉馬努金所發現的突破性新公式，其重要性可以和貝多芬的第十交響曲相媲美，一個世紀後，這些公式被用於解釋黑洞的奧秘。很明顯，哈代和利特爾伍德重視拉馬努金的理由就擺在這裡。
不過，拉馬努金的公式有個問題，很大的問題，就是「沒有證明」。而證明它得會耗盡一生啊。證明了其中某一條可能都足以名垂千古，但是對於哈代，也有個「名譽」的問題：（數學家伯蒂對哈代說）你大可花餘生去證明這裡面一半的公式，那樣你就不會有任何獨創性發現了。按理說，拉馬努金得自己把它們證明了才行，但是他不行。為什麼？他不是沒有掌握證明的方法，雖然之前可能也存在證明能力的缺陷（可能一些公式不知道，一些證明方法沒有掌握，一些證明的模式不清楚，就像哈代所說的：對於英國人和印度人而言，要互相理解並非易事。儘管都是說人話，但是英國人說的和印度人說的不同；即使同樣用英語，同樣用數學的語言，哈代的思維方式和拉馬努金的思維方式也是不同的），之後可能沒有時間（在劍橋上課，與哈代合作後應該是較好地掌握了學院的規範模式，但回印度只活了一年）。但是最關鍵是「證明這一方式與其天性向悖」。為什麼？
因為拉馬努金是個虔誠的信徒，他是印度最高等級的種族（儘管貧窮）——婆羅門，是負責祭祀神明的種族。他非常虔誠，甚至用他的話說那些公式來自於家族供奉的女神，是毗濕奴的第四化身納馬吉里。之前哈代也很奇怪，他能夠寫下那麼多的公式來，完全就是靠「直覺」。他開始不願意說，只是回答不知道，因為他知道哈代是個「無神論者」。直到他充分感受到哈代對自己的友誼很真誠，他才說：你曾想知道我是如何才有這些靈感的，我的神——納馬吉里，是她對我說的。我熟睡時，她把那些公式放在我的舌頭上，有時是在我祈禱時。正因為之前他不願意說，後來才說，所以連哈代也相信他是誠實的。但是，我們站在我們的角度還是很難理解，這不是在顛覆我們的「信仰」嗎？首先，我們應該站在哈代的角度來理解，哈代是個「無神論者」。正如他自己所說：我在上學時，記得一位牧師說：「上帝是存在的，因為他就像隻風箏。你能感覺到線上的拉力，就會明白他高高在上。」而我說：「要是沒風，風箏還能飛嗎。」不……我不信上帝。我也不信什麼東方古老智慧。但我的確相信你。很明顯，哈代並沒有動搖自己的信仰，正如拉馬努金沒有動搖自己的信仰一樣。要明白，哈代相信拉馬努金，是相信他所展示的「神蹟」。接著，我們再以「頑固唯物主義」的角度繼續探討其中奧妙。從淺層次來看，現實世界裡本來就存在很多相似的「天才」。而拉馬努金一直都展示著這種天才：他在當會計時，根本就不用算盤，直接用心算。他在和麥克馬洪比賽心算「58639」的平方和平方根，兩人都可以直接說出來，比電腦還快。更重要的，不僅存在一種內在的「運算天賦」，拉馬努金還可以直接地對「數」進行具體的分析。哈代在送拉馬努金時，遇到計程車迷路，就抱怨車牌號「1729」太蠢。的士拉馬努金當即告訴他：不，哈代，這號碼很有趣。在可以用兩個立方之和來表達，且有兩種表達方法的數中，1729是最小的。想想看，我們即使是順著來計算都恐怕毫無頭緒，拉馬努金可是倒著就把數分析清楚了。這種能力很明顯是更高一個層次。不僅如此，他能夠直接跳躍到結果，在劍橋三一學院，哈代把他送到數學家霍華德的課堂上去，結果拉馬努金被叫上了講台，完成霍華德在講解的題目，他直接就寫出了答案，沒有任何過程。霍華德大吃一驚：但我還沒有完全證明，那你怎麼知道的。拉馬努金說：我不知道，就這麼寫下來了。很明顯，他具備直接描述規律的能力。以致於利特爾伍德這麼評價：拉馬努金的存在不亞於一個奇蹟，他的才華已經超乎了我的想像，不要說雅克比了，他甚至能比得上牛頓。我現在開始相信，對於拉馬努金，每一個正整數都是他的一個好朋友。既然擁有這樣的「天賦」，在無窮無盡的數字中，找到規律，並且用公式描述出來，並不奇怪。用這種方式來理解，拉馬努金的天賦，真的就是神蹟，不管我們不是認為神創造了他，而是自然存在著這樣的天才，自然創造了他。（至於自然為什麼存在這樣的人，我認為最大的可能就是「宇宙全息論」。把全人類的所有歷程當成一個全息照，我們每個人都包含有整個宇宙的資訊，只是因為我們相對太渺小，所以我們顯示出來的資訊總有缺陷。就像一面鏡子裡有個世界，鏡子打碎了，每個碎片也都能夠展現那個世界，只是有缺陷而已。當然這種見解似乎也在暗示一個統一科學與宗教的理論：神就是宇宙一切，我們都是神的一部份，我們每個人都能夠記錄整體，但是卻只是展示出一部份來）。
拉馬努金相信「一個方程式對我來說毫無意義，除非它表達了神的旨意」，所以，他不在乎證明，更在乎把神的意志記錄下來，就像偷偷抄襲天書，打算把它送到人間去造福人類一樣，肯定是抄得越多越好。所以他認為：我不太明白為什麼我們要浪費時間去證明。哈代知道拉馬努金那些公式的價值，也的確想把他的天書公之於眾，但是正如哈代所言：我已經對它們很滿意，但以現在的狀態公佈，我會被送進瘋人院的。作為一名數學大師能夠知道這些公式的價值，但是這些公式都沒有足夠的證明，換言之，相當於要讓一群無神論者接受神的存在，卻又掏不出半句理由來一樣。哈代也不少藥拉馬努金全部證明，只要求他證明出一兩個來，能夠贏得數學家們的肯定，到時候，即使拉馬努金的公式都沒有驗證，最少也能夠成為「猜想」讓後人能夠繼續去完成。否則就算哈代把它們發佈出來，很快也會被人們忘記拋棄。
證明，到底有多重要？因為證明了，那才是數學家們，無神論者們能夠接受的真理。即使與大量的驗證對應，甚至如拉馬努金跳躍式地完成霍華德的問題，對於霍華德而言，拉馬努金的解答，可能更多的是「天賦的侮辱」；但對於數學家們來說，那只是「幸運」而已，仍不能進入真理的殿堂。所以，哈代與拉馬努金的衝突，合作的障礙，都是圍繞著這一點展開的（哈達：這就是走個過場，讓大家更形式化地了解你，這樣有利於未來的合作。我們需要用通用語言。你不會希望我們用泰米爾語交談吧。數學和藝術一樣，是一種通用語言，但是也需要大家公認的交流方式——證明，來達成溝通。而拉瑪努金一直堅持的卻是：我不想要這些公式做我的陪葬品）。但是，當拉瑪努金證明了自己提出的「整數拆分」，完成了數學家們認為的「不可能」。哈代才有一點依據可以說服大家接受拉瑪努金的特殊方式。以下是哈代說服三一學院的數學大師們通過拉瑪努金的院士資格的演講內容，我們藉此來理解拉瑪努金更深層次的貢獻：這就是我們對整數拆分的研究，以及取得的重大突破。請注意，所有這一切是出自一個人。在我初遇他時，他知識的侷限和他智慧的深奧一樣讓我感到震驚，對於拉馬努金這項成果的重要性，以及對未來數學可能帶來的影響，投票可能會見仁見智。但這個成果展現了一種深刻無比的獨創性。利特爾伍德先生曾和我說過「每一個正整數都是拉馬努金的一個好朋友」，對此我深信不疑。他曾告訴我：一個方程對他來說毫無意義，除非它表達了神的旨意。雖然我本人對此完全不能同意，但也許他是對的。因為這不正是我們追求純數學所要證明的嗎，我們只是在追求絕對完美過程中，無數個探索者。我們不是發明了這些公式，因為它們本身就存在，只是在等著那些，拉馬努金之類的人，擁有無盡的智慧，來猜想和求證它們。因此，最後我不禁在想我們憑什麼去質疑拉馬努金，更別說質疑神了，謝謝大家。也就是說，拉瑪努金的價值在於他和哥德巴赫提出猜想一樣，這種猜想是「原創性」的。其實發現猜想，本身就是提出一種可能，以讓人嘗試證明，不管證明成功與否，都是價值非凡。而拉瑪努金一下子提出了那麼多的「猜想」，自然更加了不起了。
不僅如此，我認為其實影片還說明了另一番貢獻，非常重要的貢獻。片中，為了獲得支持，哈達一開始就把拉瑪努金送到反對讓拉瑪努金進學院的霍華德課堂上去；後來又把拉瑪努金帶到系主任，組合數學的先驅麥克馬洪那裡去（麥克馬洪主任，他是學校中組合數學的先驅。碰巧也是你最高調的反對者之一，他說整數拆分不可能有公式）。麥克馬洪認為拉瑪努金不可能成功完成「整數拆分」，自己才可能成功，而唯一的辦法是用「笨辦法」：用手算，用漫長且痛苦的加法，到時候你們就會知道。你們倆空想出來的公式是錯的，然後你就可以滾回你那與世隔絕的印度。然後我們就不用陪你在這猜謎語了。但是，當麥克馬洪讓拉瑪努金計算200的拆分時，拉瑪努金告訴他答案是3972998000000。而這和麥克馬洪的「手算」結果很接近了，誤差不到2%。所以麥克馬洪自然也開始理解並接納拉瑪努金。我們仔細思考一下背後的問題。所謂的「整數拆分」的成功，自然不是拆分某個具體的數字，如200，因為那樣的話，就是笨人用笨辦法，花時間也能夠做出來。所以，數學家們要研究「整數拆分」，其實就是要找到規律來，研究出一道公式，然後不論是多大的數都可以直接代入公式計算出拆分來。但是，要尋找規律，大家的辦法就是先作出大量的嘗試，比如從1拆到200（麥克馬洪問200，說明他已經嘗試了超過200的數字了，這該是多麼痛苦 的工作，必須不出錯，又必須長時間堅持），然後看看這些數量與被拆的數字有什麼關係。這是笨辦法，但也是「通俗」的辦法，沒有辦法的辦法。而拉瑪努金可以直接地感知規律，甚至把規律表述出來，列出公式。他能夠心算出結果，麥克馬洪自然對他刮目相看，不再挖苦懷疑。所以，拉瑪努金真正的貢獻，是把這種「直覺主義」帶入數學界。雖然直覺不一定準確，但是之前的數學大師，尤其是提出猜想，具備原創性的大師，可能也多少具備這樣的天賦。
最後，影片最值得讚嘆的是，它闡明了科學家的價值觀。哈代把急於得到肯定，發表自己的兩部公式的拉瑪努金，拉到萊恩圖書館，告訴他：人這一生獲得榮譽的方式有很多種，對我們來說，被選為院士就是一種。但在我看來，在我們離世之後，能在萊恩圖書館裡，留下一筆遺產，才是最偉大的。這裡有《保羅書信》，米爾頓的詩文，《摩根聖經》，但在我這個搞數學的看來，最重要的一部還是牛頓的《數學原理》，就像牛頓是我們領域的物質代表。而你的筆記是抽象的代表，牛頓也花了很長時間來證明白己，因此我們才有義務要把這些證明出來。一旦我們成功了，我相信總有一天，這些筆記在這裡會有一席之地。現在你明白我們的重點是什麼了吧。
很明顯，這段話足以讓我們明白，什麼是蝸角虛名，什麼是真正價值。就是在人類遺產中留下自己的一筆，其他都是次要的。而這一筆是絕對容不得虛假，也無法利用權力或者金錢去偽造的，只能靠「證明」，必須經得起檢驗。這對於沉溺蝸角虛名，蠅頭微利的我們，對於「白活」的，豬玀的生活方式和態度，是最有震撼力的。人類的文明，不是擁有多大的權力，享受多大的財富那些人締造的，最終不過是一個又一個菁英累積出來的。正如司馬遷所言「古者富貴而名摩滅,不可勝記，唯倜儻非常之人稱焉。」那些人不過是電光火石，再多的輝煌也會被遺忘，但是菁英創造的文明，是一點一滴積聚遺留下來，並且不斷被繼承和發揚。
二 精彩的次要內容。
因為就連最可有可無的，拉馬努金的愛情故事也被展現得淋漓盡致，而且能夠引人思索。影片一開始，拉馬努金就已經結婚了，可是他和妻子的愛情有一道：「縫隙」或者「鴻溝」，正如妻子所言「我聽說比起人，你更喜歡數字」，很明顯拉馬努金的確如此。不過，作為一名天才，他也會害怕孤獨，或者作為一名虔誠的信徒，不想傷害他人，所以他會對妻子說「一些人，不包括你」。雖然他也想帶妻子離開印度，去英國。但是因為母親的私心，害怕拉馬努金的妻子跟著他去了英國倫敦，那麼就永遠不會回印度了，自己再也見不到兒子。一開始夫妻決定一起去英國，但是母親一說「你自己想去，還是她勸你去的？所以你們要一起走嗎？這都是她幹的好事嗎？她想一個人霸佔你」，嚇得妻子就不敢跟著走了；當妻子一直等著安排好一切的丈夫，寫信讓自己出發去倫敦相會的時候，母親卻把兒媳寫給兒子的信都藏起來，害得這對小夫妻互相猜疑，同樣感到被遺棄。妻子去投奔自家兄弟，拉馬努金又想去自殺（更多原因是因為數學工作，加上患了重病）。即使兩人最終團圓，也不過共度一年的時光。也許，我們會想，如果拉馬努金帶著妻子去了英國，那麼也許他有人照顧，不會生病，可以活得更久，可以寫出更多的公式，或者證明出更多的東西。但是，他已經寫出那麼多了，證明出那麼重要的東西了，再多也沒有什麼更大的價值了，何況他本身賦予數學史，賦予科學史的啟發已經夠多了。也許，我們還會想，有人相依，不會感到太多的孤獨和屈辱，他可能跟哈代可以更好的合作，可能更快地進入狀態，更早的拿到院士的資格……但其實，正如拉馬努金認為的自己是「遭天譴」，因為洩漏了太多的「天機」，他留給世界的已經太多了。
不僅展示了愛情，也展示了友情。 在印度，為英國人弗朗西斯服務的納拉亞那，他本身也有一定的數學素養，他聘請了什麼學位都沒有的拉瑪努金幫助自己記帳，就因為他找到他那些公式的價值。正因為納拉亞那慧眼識英雄，聘請拉瑪努金，並且縱容他（用心算），暗示他在哪裡弄到紙張（在這裡紙可不便宜，不過在碼頭上，你可以找到許多麻袋裝的紙），鼓勵他（拉馬努金試過把自己的寫的東西送給幾乎全城的人看，但是沒有人理解，他很失望。而納拉亞那就鼓勵他，告訴他馬德拉斯市，名字源於「Mandarajya」——愚昧之邦。外面還有個大世界，有英格蘭），並且通過老闆弗朗西斯推薦，能夠寫信給哈代。因為他知道拉馬努金公式的價值「這些成果非常重要，不該就這樣埋沒，它必須被公之於眾」，也知道拉馬努金的價值「如果你一個印度人，利用這些數學公式走到了頂峰，那即便是征服了我們的英國人也必須承認：我們的智慧能與他們匹敵」。沒有他真的就可能沒有拉瑪努金的成就。
當然，還有拉瑪努金與哈代的友情。哈代沒有結婚，按照他的說法「我對這類事一直一竅不通，但還是想說，感情這種事，既沒有證明，也沒有定律來左右它的結果」，連愛情都沒有的人，自然很難懂得關心朋友了。但是，影片展示了一種更加深刻的「革命友誼」。第一次見面時，明明是哈代邀請的拉瑪努金，拉瑪努金進入學院時，哈代剛好跟大家大談拉瑪努金的天賦。但是見到拉瑪努金，相互認識後，他就冷冷地對拉瑪努金說：我非常期待開始我們的工作，那麼，明早十點在我辦公室不見不散。然後轉身就走了。連問候一下，幫忙安排食住也沒有。嚇得拉瑪努金以為自己說錯了話，得罪了他。他也絲毫不去問拉瑪努金其他的事，是否有眷屬，是否有生活上的困難（拉瑪努金是個婆羅門，吃素的。連用豬油做的馬鈴薯都不能吃。學校的食物很豐富，但是他每天只能去菜市場買青菜，吃清湯寡水，導致營養不良），只是逼迫他工作，證明那些公式（這些很明顯也是使拉瑪努金患了肺結核的原因）。直到利特爾伍德提醒他要好好保護拉瑪努金，直到拉瑪努金自殺險些死掉，他才發現自己的問題。他對拉瑪努金說：很抱歉，我沒能成為你的傳統意義上的好朋友，我知道你需要這樣的朋友，但我並不擅長這個，從來就不擅長。生命對我來說就是……永遠就是數學。其實，聽到這句話，我們會想起拉瑪努金妻子對他的評價。他們本來就是只在於數學，不在乎其他的人，又怎麼懂得人情冷暖，懂得如何關心人呢？不過，我們沒有辦法去指責他們，相反，我們非常感嘆兩人的友誼，正因為英雄惺惺相惜，才有了拉瑪努金的成就和貢獻。所以，電影也在教育我們如何去對待這樣的天才，如何理解他們的人生。
16.9.5